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0名前を書き忘れた受験生 2017/02/11 21:02 　156523view

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380名前を書き忘れた受験生 2019/02/26 03:29

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携帯から失礼。
やり方は以下の通りです。
1は計算ミスしてたら申し訳ない。

1.
(1)長いので略
(2)1/2e
(3)x=0のときは等号成立、x>0のときは、与式の両辺をxで割ったものを証明すればよく、あとは増減を調べて、最小値≧0を示す。
等号成立はx=0,1/√2
(4)x^2=tの置き換えで、被積分関数がte^(-2t)となるので、部分積分で求められる
S=3/8e - 1/8

2.
(1)積分形で表された関数の微分の公式を使う
1/(x√(x^2-1))と1/(2x√(x^2-1))

(2)(1)の結果より
dF(√(x^2-1))/dx = 2dF(x+√(x^2-1))/dx
で表されることから、両辺をxについて積分すると、
F(√(x^2-1)) = 2F(x+√(x^2-1)) + C
が得られるので、与式を満たすa,bは存在することが分かり、a = 2がわかる。
次に、この式は恒等式なので、x=0を代入しても成立する。
F(0)=0, F(1)は、t=tanθの置き換えで求まる
計算してa=2,b=-π/2

3.
(1)商は1次式なので、px+qとおいて、式を立てる、恒等式からn次の項を比較すると、f(x)のn次の項は0でないので、p=1/n

(2)(1)で求まった式を両辺微分すると、
f'(x)=n/(n-1) × (px+q) × f"(x)
となることから、証明できる

(3)数学的帰納法も考えられるが、その場合の厳密な記述が難しいので、対偶を証明する形が最も楽かと思われる。

4.
(1)1/16
(2)1/4
(3)E,Fに入る球が、同色2組の場合と、同色1組の場合に分けて考える。
赤青黄緑は対照的なので、色を分けて考える必要はない
答えは1/4