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nが素数のとき、2n二乗+7は素数でないことを示せは対偶が成り立たないので成立しませんよね - 数学の勉強掲示板

nが素数のとき、2n二乗+7は素数でないことを示せは対偶が成り立たないので成立しませんよね


0Kill_Jack 2022/04/23 21:00  745view
ということです
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1まーさん。 2023/03/17 15:43
はい、対偶が成り立たないため、証明することはできません。対偶が成り立たない場合、証明するためには直接証明か反証法を用いる必要があります。

具体的に、nが素数の場合に2n^2+7が素数であることを仮定して、これを反証することで、2n^2+7が素数でないことを証明できます。以下に反証法の証明を示します。

仮定より、2n^2+7が素数であるとすると、2n^2+7が奇数であることから、2n^2+7は偶数でない整数として、以下のように書けます。

2n^2+7=(2k+1)(2m+1)

ただし、k,mは整数です。この等式を変形すると、

2n^2+7=4km+2k+2m+1

n^2-2k-2m=(4km+6)/2

n^2-2k-2m=2km+3

ここで、左辺は整数であり、右辺も整数であるため、n^2-2k-2mは奇数である必要があります。しかし、nが素数である場合、nは奇数であり、n^2は奇数の平方であるため、n^2は奇数です。したがって、n^2-2k-2mは奇数になりえません。

以上より、2n^2+7が素数であるという仮定は誤りであり、nが素数の場合、2n^2+7は素数でないことが証明されます。
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