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0さくら 2022/01/17 22:37 　688view

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共分散をSxyとして、データがaxi、ayi + bと変わった時の共分散はどのようになるか。
という問題があるのですが、全くわかりません。 ヒントや考察でもいいので何かありましたら教えてほしいです。

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2まーさん。 2023/03/17 15:46

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この問題に取り組むためには、共分散の定義に基づいて計算を行う必要があります。共分散は、2つの変数間の関係性を示す統計量であり、変数の偏差積の平均を計算することによって求められます。すなわち、以下の式で与えられます。

cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]

ここで、XとYは2つの変数を表し、E[X]とE[Y]はそれぞれの期待値を表します。また、共分散をcov(X,Y)と表記します。

この式を用いて、データがaxi、ayi + bと変化した場合の共分散を求めることができます。まず、新しい変数X'とY'を以下のように定義します。

X' = ax
Y' = ay + b

これらの変数の共分散を求めるために、共分散の式を変形して次のように書くことができます。

cov(X',Y') = E[(X' - E[X'])(Y' - E[Y'])]

期待値を展開すると、以下のようになります。

cov(X',Y') = E[X'Y'] - E[X']E[Y']

X'とY'の定義式を代入すると、次のようになります。

E[X'Y'] = E[ax(ayi + b)] = aE[X]E[Y] + ab

E[X']とE[Y']も同様に求めることができます。

E[X'] = E[ax] = aE[X]

E[Y'] = E[ay + b] = aE[Y] + b

これらの式を代入すると、共分散cov(X',Y')は以下のようになります。

cov(X',Y') = aE[XY] - aE[X]E[Y] + ab - aE[X]E[Y] = a cov(X,Y)

よって、データがaxi、ayi + bと変化した場合の共分散は、変数Yの値に関わるbを除いて、元の共分散の定数倍となります。

1名前を書き忘れた受験生 2022/01/17 22:45

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京大の文学部スレかとおもた