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0メラゾーム 2021/03/19 18:26 　2341view

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フィボナッチ数列 F[1]=1, F[2]=1, F[n+2]=F[n+1]+F[n] (n≧1) について、
F[n] (n≠5) が素数 ならば F[n] ≡ ±1 (mod n) であることを示してください。 ご教授頂けると幸いです。

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13名前を書き忘れた受験生 2021/10/07 00:58

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ひゃだるこ

12名前を書き忘れた受験生 2021/10/06 23:23

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ヒャド

11名前を書き忘れた受験生 2021/10/06 09:26

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火球

10名前を書き忘れた受験生 2021/04/02 17:32

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メラ

9名前を書き忘れた受験生 2021/04/02 12:44

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メラミ

8名前を書き忘れた受験生 2021/04/01 00:47

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メラゾーマ

7名前を書き忘れた受験生 2021/03/31 22:23

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俺にはとけない

6名前を書き忘れた受験生 2021/03/31 00:20

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なるほど

5名前を書き忘れた受験生 2021/03/30 07:37

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フィボナッチ数列
F[1]=1
F[2]=1
F[n+2]=F[n+1]+F[n]
(n≧1)
(n≠5)
において、F[n]を素数とすると

n=3 の場合はF[3]=2=-1(mod3)である
F[3]=2は素数でF[n]=-1(mod n)が成立している
n=4 の場合はF[4]=3=4-1=-1(mod4)である
F[4]=3は素数でF[n]=-1(mod n)が成立している
n≠4の場合
F[n]が素数となる n は素数である。
n>5とする

F(n)=(1/√5)[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]
とすると

F(1)=(1/√5)[{(1+√5)/2}^1-{(1-√5)/2}^1]=1
F(2)=(1/√5)[{(1+√5)/2}^2-{(1-√5)/2}^2]=1

F(n)+F(n+1)
=(1/√5)[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]+(1/√5)[{(1+√5)/2}^(n+1)-{(1-√5)/2}^(n+1)]
=(1/√5)[{(1+√5)/2}^n{(3+√5)/2}-{(1-√5)/2}^n{(3-√5)/2}]
=(1/√5)[{(1+√5)/2}^(n+2)-{(1-√5)/2}^(n+2)]
=F(n+2)
が成り立つから

F(n)=(1/√5)[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]
はフィボナッチ数列の一般項を表す

F(n)=(1/√5)[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]
F(n)={(1+√5)^n-(1-√5)^n}/{(√5)(2^n)}

(1+√5)^nを2項展開すると
(1+√5)^n=Σ_{k=0〜n}(nCk)√5^k
(1+√5)^n=nC0+nC1√5+nC2√5^2+nC3√5^3+…+nC(n-2)√5^(n-2)+nC(n-1)√5^(n-1)+nCn√5^n
(1-√5)^nを2項展開すると(nは素数で奇数だから(-1)^n=-1だから)
(1-√5)^n=Σ_{k=0〜n}(-1)^k(nCk)√5^k
(1-√5)^n=nC0-nC1√5+nC2√5^2-nC3√5^3+…-nC(n-2)√5^(n-2)+nC(n-1)√5^(n-1)-nCn√5^n
↓これを(1+√5)^nから引くと(√5の奇数乗の無理数項が残る)
(1+√5)^n-(1-√5)^n=Σ_{k=0〜n}{1-(-1)^k}(nCk)√5^k
(1+√5)^n-(1-√5)^n=2√5Σ_{j=0〜(n-1)/2}2{nC(2j+1)}5^j
(1+√5)^n-(1-√5)^n=2nC1√5+2nC3√5^3+2nC5√5^5+3nC7√5^5…+2nC(n-2)√5^(n-2)+2nCn√5^n
(1+√5)^n-(1-√5)^n=2√5[nC1+nC3*5+nC5*5^2+nC7*5^3+…+nC(n-2)5^{(n-3)/2}+nCn5^{(n-1)/2}]
↓両辺を(2^n)√5で割ると
{(1+√5)^n-(1-√5)^n}/{(2^n)√5}=Σ_{j=0〜(n-1)/2}{nC(2j+1)}(5^j)/2^(n-1)
↓F(n)={(1+√5)^n-(1-√5)^n}/{(2^n)√5}だから
F(n)=Σ_{j=0〜(n-1)/2}{nC(2j+1)}(5^j)/2^(n-1)
F(n)=[Σ_{j=0〜(n-3)/2}{nC(2j+1)}(5^j)+5^{(n-1)/2}]/2^(n-1)
F(n)=[nC1+nC3*5+nC5*5^2+nC7*5^3+…+nC(n-2)5^{(n-3)/2}+nCn5^{(n-1)/2}]/2^(n-1)

j=0〜(n-3)/2に対して
0≦j≦(n-3)/2
0≦2j≦n-3
2j≦n-3
2j+1≦n-2
↓n-2<nだから
2j+1<n

0≦2j
n-2j-1≦n-1
↓n-1<nだから
n-2j-1<n

nC(2j+1)=n!/{(2j+1)!(n-2j-1)!}

nは素数で
2j+1<nだから(2j+1)!の素因数にはnは無い
n-2j-1<nだから(n-2j-1)!の素因数にはnは無い
(2j+1)!(n-2j-1)!の素因数にはnは無い
だから
nC(2j+1)はnの倍数となる

j=0〜(n-3)/2に対してnC(2j+1)はnの倍数だから
j=0〜(n-3)/2に対してnC(2j+1)=0(mod n)
だから
Σ_{j=0〜(n-3)/2}{nC(2j+1)}(5^j)=0(mod n)
だから
Σ_{j=0〜(n-3)/2}{nC(2j+1)}(5^j)+5^{(n-1)/2}=5^{(n-1)/2}(mod n)
だから
F(n)=[Σ_{j=0〜(n-3)/2}{nC(2j+1)}(5^j)+5^{(n-1)/2}]/2^(n-1)=5^{(n-1)/2}/2^(n-1)(mod n)
だから
F(n)=5^{(n-1)/2}/2^(n-1)(mod n)

nは素数で
2<nと2は互いに素だから
フェルマーの小定理から
2^(n-1)=1(mod n)
だから
F(n)=5^{(n-1)/2}/2^(n-1)=5^{(n-1)/2}(mod n)
だから
F(n)=5^{(n-1)/2}(mod n)

nは素数で
5<nと5は互いに素で
フェルマーの小定理から
5^(n-1)=1(mod n)
だから
(5^{(n-1)/2})^2=5^(n-1)=1(mod n)
(5^{(n-1)/2})^2=1(mod n)
(5^{(n-1)/2})^2-1=0(mod n)
(5^{(n-1)/2}+1)(5^{(n-1)/2}-1)=0(mod n)
↓nは素数だから
5^{(n-1)/2}+1=0(mod n).or.5^{(n-1)/2}-1=0(mod n)
だから
5^{(n-1)/2}=±1(mod n)
だから
F(n)=5^{(n-1)/2}(mod n)=±1(mod n)
∴
F(n)=±1(mod n)

4名前を書き忘れた受験生 2021/03/25 19:54

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大学のレポート？

3名前を書き忘れた受験生 2021/03/20 12:04

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https://www.100ten.info/kyoto/726/

2コルム 2021/03/20 03:31

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自明なのは分かりますが、どうやってそれを示せば良いのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

1メラ 2021/03/20 00:57

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自明