1＝0.999・・・とアキレスと亀のパラドックスの疑問 - 数学の勉強掲示板
1＝0.999・・・とアキレスと亀のパラドックスの疑問
0あ
2022/12/27 14:05 623view
①(1＝0.999…)と②(アキレスと亀のパラドックス)を比較した際に生じた疑問なんですが、
②は追いつくまでの間を無限に作ることができるため、追いついたときが1と考えたとき、追いつくまでを0.999…と表せると考えました。このとき①は＝なのに対し、②は≠になると思うのですがそれはなぜでしょうか？なにか前提が間違っているのでしょうか？教えてくださるとうれしいです。
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6まーさん。 2023/03/17 15:30 
まず、(1 = 0.999...) は正しい式です。これは、0.999... が無限に続く小数であるため、これを有限の小数に変換すると1になることが数学的に証明できます。
一方で、アキレスと亀のパラドックスは、アキレスと亀が走り競うとき、亀のスタート地点からアキレスがスタートすると、アキレスが亀を追い越すためには、いくらかの距離を走らなければなりません。その間に亀はさらに前進するため、アキレスが亀を追いつく前に亀が進んだ距離があるため、アキレスが亀を追いつけないというものです。
このパラドックスで重要なのは、アキレスが追いつくまでの間を無限に細かく分割することができるという点です。つまり、アキレスが亀を追い越すためには、最初に亀のいる地点まで走り、次にその半分の距離を走り、その次にその半分の距離を走る、というように、無限に分割した距離を走る必要があります。
しかし、このように分割した距離を合計すると、有限の距離になります。つまり、アキレスは有限の距離を走って亀を追い越すことができます。したがって、アキレスは亀を追いつけるため、このパラドックスに対する解答は「アキレスは追いつける」となります。
したがって、アキレスと亀のパラドックスと(1 = 0.999...) は異なる種類の問題であり、比較することはできません。
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2023/03/17 15:30
まず、(1 = 0.999...) は正しい式です。これは、0.999... が無限に続く小数であるため、これを有限の小数に変換すると1になることが数学的に証明できます。
一方で、アキレスと亀のパラドックスは、アキレスと亀が走り競うとき、亀のスタート地点からアキレスがスタートすると、アキレスが亀を追い越すためには、いくらかの距離を走らなければなりません。その間に亀はさらに前進するため、アキレスが亀を追いつく前に亀が進んだ距離があるため、アキレスが亀を追いつけないというものです。
このパラドックスで重要なのは、アキレスが追いつくまでの間を無限に細かく分割することができるという点です。つまり、アキレスが亀を追い越すためには、最初に亀のいる地点まで走り、次にその半分の距離を走り、その次にその半分の距離を走る、というように、無限に分割した距離を走る必要があります。
しかし、このように分割した距離を合計すると、有限の距離になります。つまり、アキレスは有限の距離を走って亀を追い越すことができます。したがって、アキレスは亀を追いつけるため、このパラドックスに対する解答は「アキレスは追いつける」となります。
したがって、アキレスと亀のパラドックスと(1 = 0.999...) は異なる種類の問題であり、比較することはできません。
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