素数を言っていくスレ - 京都大学掲示板
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85名前を書き忘れた受験生 
2021/10/16 13:03
>>82
最も小さい素数は2のため、 pq + qp ≧ 22 + 22 = 8 ---- (1)
pとqがともに奇数またはともに偶数だと仮定すると、「pq + qp」は偶数となる。
偶数の素数は2しかないが、(1)よりこのとき与式は2になることはないため、素数となることはない。
そのため、pとqのどちらかは偶数でどちらかが奇数である。
偶数の素数は2しかないため、どちらかは奇数でどちらかは2であると確定できる。
pとqは対称性があるため、pが奇数、q=2 とし、与式に代入すると
p2 + 2p
与式を3で割ったときを検討する。
pが奇数なので、 2p ≡ (-1)p ≡ -1 (mod 3) ---- (2)
A) p≡0 (mod 3) のとき
pは3の倍数であると同時に素数のため、p = 3 と確定できpが奇数であることと矛盾しない。
これを与式に代入すると pq + qp = 32 + 23 = 17 となり、素数となる。
B) p≡1 (mod 3) のとき
p2 ≡ 12 ≡ 1 (mod 3) なので、(2)から与式は p2 + 2p ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
となり3の倍数となる。
そのなかで素数は3のみだが、(1)から与式は3になることはないので、与式が素数となるpは存在しない。
C) p≡2 (mod 3) のとき
p2 ≡ 22 ≡ (-1)2 ≡ 1 (mod 3) なので、同様に与式は3の倍数となり、同じく与式が素数となるpは存在しない。
従って pq + qp = 17 ( p=2, q=3 または p=3, q=2 )
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2021/10/16 13:03
>>82
最も小さい素数は2のため、 pq + qp ≧ 22 + 22 = 8 ---- (1)
pとqがともに奇数またはともに偶数だと仮定すると、「pq + qp」は偶数となる。
偶数の素数は2しかないが、(1)よりこのとき与式は2になることはないため、素数となることはない。
そのため、pとqのどちらかは偶数でどちらかが奇数である。
偶数の素数は2しかないため、どちらかは奇数でどちらかは2であると確定できる。
pとqは対称性があるため、pが奇数、q=2 とし、与式に代入すると
p2 + 2p
与式を3で割ったときを検討する。
pが奇数なので、 2p ≡ (-1)p ≡ -1 (mod 3) ---- (2)
A) p≡0 (mod 3) のとき
pは3の倍数であると同時に素数のため、p = 3 と確定できpが奇数であることと矛盾しない。
これを与式に代入すると pq + qp = 32 + 23 = 17 となり、素数となる。
B) p≡1 (mod 3) のとき
p2 ≡ 12 ≡ 1 (mod 3) なので、(2)から与式は p2 + 2p ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
となり3の倍数となる。
そのなかで素数は3のみだが、(1)から与式は3になることはないので、与式が素数となるpは存在しない。
C) p≡2 (mod 3) のとき
p2 ≡ 22 ≡ (-1)2 ≡ 1 (mod 3) なので、同様に与式は3の倍数となり、同じく与式が素数となるpは存在しない。
従って pq + qp = 17 ( p=2, q=3 または p=3, q=2 )
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